Esercizio 12luogo delle radici con zeri e poli doppi (temi d'esame luglio 2025 e gennaio 2023)

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Teoria usata: Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →, Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

1. Rami, punti di partenza e di arrivo

$G$ ha $n=4$ poli ($-3$ doppio, $-2$ doppio) e $m=2$ zeri ($-1$ doppio). In entrambi i luoghi ci sono $4$ rami che partono dai poli ($K\to0$); $m=2$ finiscono negli zeri in $-1$, $n-m=2$ vanno all'infinito.

2. Asse reale

Per ogni $\alpha$ reale che non sia polo o zero, i poli e zeri reali a destra contati con molteplicità sono sempre in numero pari, perché ogni radice è doppia: per $\alpha>-1$ sono $0$; per $\alpha\in(-2,-1)$ sono $2$ (lo zero doppio); per $\alpha\in(-3,-2)$ sono $4$; per $\alpha<-3$ sono $6$. Quindi tutto l'asse reale appartiene al luogo negativo e nessun suo punto (tranne i punti di partenza/arrivo) appartiene al luogo positivo.

3. Asintoti

$n-m=2$. Centro $x_B=\dfrac{\sum p-\sum z}2=\dfrac{(-3-3-2-2)-(-1-1)}2=\dfrac{-10+2}2=-4$. Direzioni: luogo positivo $\pm\frac\pi2$ (asintoti verticali in $\mathrm{Re}=-4$); luogo negativo $0$ e $\pi$ (asse reale).

4. Punti doppi

Con $n(s)=(s+1)^2$, $d(s)=(s+3)^2(s+2)^2$ l'equazione dei candidati $d'n-dn'=0$ si fattorizza in $$2\,(s+1)(s+2)(s+3)\,(s^2+2s-1)=0.$$ I fattori $s+1,\ s+2,\ s+3$ corrispondono a zeri e poli doppi di $G$ (punti di partenza o arrivo dei rami, con $K=\infty$ o $0$): non sono punti doppi. Resta $s^2+2s-1=0\Rightarrow s=-1\pm\sqrt2$, cioè $\alpha_1=-1+\sqrt2\approx0{,}414$ e $\alpha_2=-1-\sqrt2\approx-2{,}414$. Si calcola $K=-\frac{d}{n}$:

• in $\alpha_1$: $n=(\sqrt2)^2=2$, $d=(2+\sqrt2)^2(1+\sqrt2)^2=34+24\sqrt2$, $K=-(17+12\sqrt2)\approx-33{,}97$;
• in $\alpha_2$: $n=2$, $d=(2-\sqrt2)^2(1-\sqrt2)^2=34-24\sqrt2$, $K=-(17-12\sqrt2)\approx-0{,}029$.

Entrambi i valori sono negativi: sono due punti doppi del luogo negativo, sull'asse reale (in $(-3,-2)$ il secondo, nel semiasse destro il primo). Il luogo positivo non ha punti doppi.

5. Intersezioni con l'asse immaginario

$d(j\omega)=\big[(3+j\omega)(2+j\omega)\big]^2=\big[(6-\omega^2)+5j\omega\big]^2=(6-\omega^2)^2-25\omega^2+10j\omega(6-\omega^2)$ e $n(j\omega)=1-\omega^2+2j\omega$. L'equazione $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ dà $$\begin{cases}\omega^4-37\omega^2+36+K(1-\omega^2)=0,\\ \omega\,(60-10\omega^2+2K)=0.\end{cases}$$ La seconda ha le soluzioni (a) $\omega=0$ e (b) $\omega^2=\frac{30+K}5$.

• (a) $\omega=0$ nella prima: $36+K=0\Rightarrow K=-36$ (l'origine è un punto del luogo negativo).
• (b) $\omega^2=u=\frac{30+K}5$, $K=5u-30$: sostituendo nella prima $-4u^2-2u+6=0\iff2u^2+u-3=0\iff u=1$ oppure $u=-\frac32$. Con $u=-\frac32$ si avrebbe $\omega^2<0$: scartata. Con $u=1$: $\omega=1$ e $K=5-30=-25$.

Intersezioni: l'origine per $K=-36$ e $\pm j$ per $K=-25$, entrambe nel luogo negativo.

6. I due luoghi

Luogo positivo ($K>0$). I rami che partono dai poli doppi si separano fuori dall'asse reale (non ci sono tratti reali): le due coppie complesse da $-3$ vanno verso gli asintoti verticali di centro $-4$; le due coppie da $-2$ vanno verso lo zero doppio $-1$. Tutti i rami restano in $\mathrm{Re}<0$ (nessuna intersezione con l'asse immaginario per $K>0$).

Luogo negativo ($K<0$). Contiene tutto l'asse reale. Dal polo doppio $-3$ un ramo va a $-\infty$ (asintoto di direzione $\pi$) e uno verso $-2$; dal polo doppio $-2$ un ramo va verso $-3$ e uno verso lo zero $-1$ (che raggiunge direttamente). I due rami $(-3\to-2)$ e $(-2\to-3)$ si incontrano in $\alpha_2=-2{,}414$ ($K=-0{,}029$), lasciano l'asse in direzione perpendicolare, attraversano l'asse immaginario in $\pm j$ per $K=-25$, passano nel semipiano destro e si incontrano di nuovo sull'asse reale in $\alpha_1=0{,}414$ ($K=-33{,}97$); da lì un ramo torna verso sinistra, passa per l'origine ($K=-36$) e finisce nello zero $-1$, l'altro va a $+\infty$ (asintoto di direzione $0$).

7. Stabilità BIBO

Risposta. $W$ è BIBO stabile se e solo se $K>-25$ (con $K\ne0$). Controllo numerico: $K=-24$: poli $-8{,}64,\ -1{,}26,\ -0{,}05\pm1{,}05j$ (stabile); $K=-25$: $\pm j$; $K=-30$: $0{,}24\pm0{,}68j$ (instabile); $K=-35$: due radici reali positive $0{,}81$ e $0{,}10$; $K=-36$: radice nell'origine e in $1{,}0$; $K=-37$: una radice positiva $1{,}15$.

Verifica con Routh

$d(s)+Kn(s)=s^4+10s^3+(37+K)s^2+(60+2K)s+(36+K)$. Tabella: $$\begin{array}{c|ccc}4&1&37+K&36+K\\3&10&60+2K&\\2&31+0{,}8K&36+K&\\1&\dfrac{1{,}6\,(K+25)(K+37{,}5)}{31+0{,}8K}&&\\0&36+K&&\end{array}$$ (l'elemento della riga $s^1$ è $\frac{(31+0{,}8K)(60+2K)-10(36+K)}{31+0{,}8K}$ e il numeratore vale $1500+100K+1{,}6K^2=1{,}6(K+25)(K+37{,}5)$). Prima colonna: $1,\ 10,\ 31+0{,}8K,\ \frac{1{,}6(K+25)(K+37{,}5)}{31+0{,}8K},\ 36+K$. Tutti positivi se e solo se $K>-38{,}75$, $(K+25)(K+37{,}5)>0$ e $K>-36$, cioè $K>-25$ ✓. Nell'intervallo $-36<K<-25$ la riga $s^1$ è negativa: due variazioni, 2 poli instabili ✓; per $K<-36$ (con $s^0<0$) si ha una variazione sola ✓ (1 polo instabile).

Errori comuni

• Scambiare i valori di $K$ nei due punti doppi: $K=-\frac dn$ (non $-\frac nd$). In $\alpha_1=0{,}414$ (vicino agli zeri e lontano dai poli) $K$ è molto grande in modulo ($-34$), in $\alpha_2=-2{,}414$ (tra i poli) è piccolo ($-0{,}03$).
• Prendere $s+1,s+2,s+3$ come punti doppi: sono zeri e poli doppi, $K=\infty$ o $0$.
• Dimenticare di scartare la soluzione $\omega^2=-\frac32$ (con $K=-37{,}5$) nel calcolo delle intersezioni con l'asse immaginario.
• Dimenticare che il luogo positivo non ha punti reali: i rami lasciano subito l'asse reale.
• Includere $K=-25$ tra i valori di stabilità (con poli $\pm j$ non c'è BIBO).