Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine

La risposta al gradino (Risposta al gradino e suoi parametriPer $W$ strettamente propria, BIBO stabile e con $W(0)\ne0$ la risposta al gradino $w_{-1}$ parte da $0$ e tende a $W(0)$. I suoi parametri (al 10%) sono il tempo di salita $t_r=\min{t:|w_{-1}(t)-W(0)|\le0{,}1|W(0)|}$, il tempo di assestamento $t_s$ (da cui in poi la risposta resta nella banda del 10%) e la sovraelongazione $S=\frac{\max w_{-1}-W(0)}{W(0)}\cdot100%$. Se la risposta è monotona $t_r=t_s$ e $S=0$. Per $W=\frac K{s+p}$: $t_r=t_s=\frac{\ln10}p$. Uno zero instabile produce sottoelongazione (undershoot).Risposta al gradino e suoi parametri →) descrive il sistema nel tempo, la risposta in frequenza (Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementariLa forma di Bode scrive $W(s)=\frac{K_B}{s^h}\frac{\prod(1+T_i's)\prod(1+2\xi_i'\frac s{\omega_{ni}'}+\frac{s^2}{\omega_{ni}'^2})}{\prod(1+T_is)\prod(1+2\xi_i\frac s{\omega_{ni}}+\frac{s^2}{\omega_{ni}^2})}$ con $K_B=\lim_{s\to0}s^hW(s)$. Il diagramma di Bode (modulo in dB e fase, su asse $\omega$ logaritmico) si ottiene sommando i contributi dei termini elementari: costante, $s^{\mp1}$ ($\mp20$ dB/dec, $\mp90^\circ$), binomio ($\pm20$ dB/dec dopo $1/|T|$, fase $\pm90^\circ$, opposta se instabile), trinomio ($\pm40$ dB/dec dopo $\omega_n$, fase $\pm180^\circ$, picco $20\log2\xi$).Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementari →) nel dominio della frequenza. Nella sintesi di un controllore le specifiche si danno nel tempo (rapidità, oscillazioni), ma il progetto si fa in frequenza: serve un ponte tra i due mondi. Questa nota lo costruisce studiando alcuni sistemi semplici.

Parametri della risposta in frequenza

Siano $W$ strettamente propria, BIBO stabile, $W(0)\ne0$.

• Banda passanteintervallo di pulsazioni in cui il modulo di W è al più 3 dB sotto il valore in continua $B_p$: la più grande $\omega$ tale che $|W(j\omega)|\ge\frac{|W(0)|}{\sqrt2}$ in tutto $[0,\omega]$: l'intervallo di frequenze in cui il modulo è al più $3$ dB sotto il valore in continua. È una misura di "quanto veloce" è il sistema: il modulo si abbassa oltre $B_p$, quindi le sinusoidi più rapide sono attenuate.
• Pulsazione di risonanza $\omega_r$: se esiste, l'unica $\omega$ in cui $|W(j\omega)|$ ha il suo massimo assoluto.
• Picco di risonanza $M_r$: se $\omega_r$ esiste, $M_r=\frac{|W(j\omega_r)|}{|W(0)|}$ (spesso in dB).

Sistema del primo ordine

$W(s)=\frac K{s+p}=\frac{K/p}{1+s/p}$, $p>0$. Il modulo $\frac{K/p}{\sqrt{1+\omega^2/p^2}}$ è monotono decrescente (nessuna risonanza) e vale $\frac1{\sqrt2}\frac Kp$ in $\omega=p$: $B_p=p$. La risposta al gradino è monotona con $t_r=\frac{\ln10}p$, quindi $$\boxed{B_p\,t_r=\ln10\approx2{,}31.}$$ Più il polo è lontano dall'origine, più il sistema è veloce e più la banda è larga.

Altri tre sistemi

Per sistemi con tre o più parametri si calcola numericamente la risposta (Risposta al gradino e suoi parametriPer $W$ strettamente propria, BIBO stabile e con $W(0)\ne0$ la risposta al gradino $w_{-1}$ parte da $0$ e tende a $W(0)$. I suoi parametri (al 10%) sono il tempo di salita $t_r=\min{t:|w_{-1}(t)-W(0)|\le0{,}1|W(0)|}$, il tempo di assestamento $t_s$ (da cui in poi la risposta resta nella banda del 10%) e la sovraelongazione $S=\frac{\max w_{-1}-W(0)}{W(0)}\cdot100%$. Se la risposta è monotona $t_r=t_s$ e $S=0$. Per $W=\frac K{s+p}$: $t_r=t_s=\frac{\ln10}p$. Uno zero instabile produce sottoelongazione (undershoot).Risposta al gradino e suoi parametri → riporta le formule):

Osservazioni.

• Se la risposta al gradino è monotona anche il modulo è monotono: non c'è picco di risonanza. Se la risposta oscilla il modulo ha un picco di risonanza.
• Il prodotto $B_p\,t_r$ è circa $2{,}3$: banda e tempo di salita sono inversamente proporzionali.
• L'ultima ipotesi (niente zeri instabili) è essenziale: nel terzo sistema il modulo è $\frac1{\sqrt{1+\omega^2/100}}$ (lo zero instabile e il polo in $1$ si compensano nel modulo), quindi $B_p=10$, ma la risposta è lenta ($t_r=3{,}10$ s): $B_pt_r=31$, la relazione cade. Nello studio di queste relazioni si escludono sempre i sistemi con zeri a parte reale positiva.

Sistema del secondo ordine canonico

$$W(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2},\qquad0<\xi<1,\quad W(0)=1.$$ Poli $-\xi\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$. La risposta al gradino è $$w_{-1}(t)=1-\frac{e^{-\xi\omega_nt}}{\sqrt{1-\xi^2}}\sin\!\big(\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\,t+\varphi\big),\quad\varphi=\arccos\xi.$$ Il massimo si ha in $t=\frac\pi{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}$ e la sovraelongazione è $$S=100\,e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\ \%.$$ Il tempo di assestamento (10%) è circa $t_s\approx\frac{\ln10}{\xi\omega_n}=\frac{2{,}3}{\xi\omega_n}$, perché l'inviluppo $e^{-\xi\omega_nt}$ deve scendere sotto $0{,}1$. Nel dominio della frequenza (modulo $\frac1{\sqrt{(1-u^2)^2+4\xi^2u^2}}$, $u=\frac\omega{\omega_n}$): $$\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2}\ \ (\xi<\tfrac1{\sqrt2}),\qquad M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}.$$ Se $\xi\ge\frac1{\sqrt2}\approx0{,}707$ il modulo è monotono, senza picco. Tabella (calcolata dalle formule e controllata numericamente):

Quanto più il picco di risonanza è alto tanto più la risposta al gradino oscilla: $M_r$ e $S$ dipendono entrambi solo da $\xi$.

Sistemi di ordine superiore: poli dominanti

Se $W$ ha ordine maggiore di $2$ ma i suoi poli sono divisi in due gruppi, i poli dominantii poli più vicini all'asse immaginario, che determinano il transitorio (uno reale o due complessi coniugati, i più vicini all'asse immaginario) e gli altri molto più a sinistra (almeno $5\text{–}10$ volte più lontani), il sistema si comporta approssimativamente come quello del primo o secondo ordine formato dai soli poli dominanti. Le relazioni di questa nota continuano a valere come stime. Esempio: $\frac1{(1+s)(1+s/100)}$ ha $B_p\approx1$ e risposta monotona con $t_r\approx\frac{\ln10}1=2{,}3$ s: il polo in $100$ è trascurabile.

Come si usano

• Dalla specifica "$t_r\le t_r^*$" si ricava la banda necessaria $B_p\approx\frac{2{,}3}{t_r^*}$.
• Dalla specifica "$S\le S^*$" si ricava un limite al picco di risonanza $M_r$ e, per il secondo ordine, a $\xi$.
• Poiché il sistema controllato si progetta sulla funzione in catena aperta, queste relazioni vengono poi tradotte in specifiche sulla pulsazione di attraversamento e sul margine di fase (Margine di fase, banda e picco di risonanzaPer $G$ strettamente propria, senza poli instabili, con $K_B>0$ e $\omega_A$ ben definita, la banda di $W=\frac G{1+G}$ è molto vicina a $\omega_A$ ($B_p\approx\omega_A$) e il tempo di salita si stima con $t_r\approx\frac{2{,}3}{\omega_A}$. Il margine di fase controlla le oscillazioni: $|W(j\omega_A)|=\frac1{2\sin(m_\varphi/2)}$, che approssima il picco di risonanza; per $\frac{\omega_n^2}{s(s+2\xi\omega_n)}$ si ha $m_\varphi\approx100,\xi$ gradi. Specifiche tipiche: $m_\varphi\ge45^\circ$ per poche oscillazioni, $m_\varphi\approx90^\circ$ per risposta tipo primo ordine.Margine di fase, banda e picco di risonanza →).

Errori comuni

• Applicare $B_pt_r\approx2{,}3$ a sistemi con zeri instabili (non vale).
• Confondere $\omega_n$ con $\omega_r$ o con la banda $B_p$: sono tre pulsazioni diverse (uguali solo per $\xi\to0$ le prime due).
• Dire che esiste sempre un picco di risonanza: per $\xi\ge\frac1{\sqrt2}$ il modulo è monotono.
• Usare queste relazioni per sistemi di ordine alto senza poli dominanti ben separati.