Reti attenuatrici e reti a sella

Se la pulsazione di attraversamento di $C'G$ è maggiore di quella voluta ($\omega_A>\omega_A^*$) bisogna abbassare il modulo in $\omega_A^*$ di $M$ dB. Un guadagno minore di $1$ non è ammesso (rovinerebbe l'errore a regime: Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →), quindi si abbassa solo l'alta frequenza con una rete attenuatricerete con polo prima dello zero: abbassa il modulo ad alta frequenza lasciando invariato il guadagno in continua (o ritardatrice, lag network).

La rete attenuatrice

$$\boxed{C_{att}(s)=\frac{1+\frac sz}{1+\frac sp}=\frac{1+\alpha Ts}{1+Ts},\qquad0<p<z,\quad T=\tfrac1p,\ \alpha=\tfrac pz\in(0,1).}$$ È un polo stabile in $p$ seguito, più a destra, da uno zero stabile in $z$; $K_B=1$. Diagramma di Bode:

• modulo: $0$ dB per $\omega<p$, poi decresce a $-20$ dB/dec tra $p$ e $z$, poi resta costante a $-20\log\frac zp$ dB per $\omega>z$;
• fase: parte da $0^\circ$, scende fino a un minimo negativo (al massimo $-90^\circ$) e torna a $0^\circ$: una "gobba" negativa tra $p$ e $z$. Per questo si chiama anche ritardatrice.

Il minimo di fase è $-\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ in $\sqrt{pz}$, come la rete anticipatrice ma con segno opposto (Reti anticipatriciLa rete anticipatrice $C_{ant}(s)=\frac{1+s/z}{1+s/p}=\frac{1+sT}{1+\alpha Ts}$ con $0<z<p$ ($\alpha=\frac zp<1$) ha $K_B=1$, alza il modulo di $20\log\frac pz$ dB tra $z$ e $p$ e aggiunge fase (massimo $\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ in $\sqrt{zp}$). Si usa nei casi ②, ④ (parte anticipatrice) della sintesi: con $\Phi\le90^\circ$ si mette uno zero $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^$; con $90^\circ<\Phi\le180^\circ$ due zeri a $\frac M{40}$ decadi; il polo (o i poli) almeno una o due decadi dopo $\omega_A^$ per rendere la rete propria.Reti anticipatrici →).

Il progetto (caso ③)

Si è nel caso ③: $\omega_A>\omega_A^*$ e $m_\varphi(\omega_A^*)\ge m_\varphi^*$. Si calcolano $M>0$ (dB da perdere in $\omega_A^*$) e il margine di fase "regalato" $\Phi=m_\varphi(\omega_A^*)-m_\varphi^*\ge0$ (gradi che si possono perdere). Si vuole modulo $-M$ dB in $\omega_A^*$ e fase quasi invariata. Poiché la rete attenuatrice ha il suo effetto completo oltre lo zero:

1. Zero: si mette $z$ almeno una decade prima di $\omega_A^*$ ($z\le\frac{\omega_A^*}{10}$): dopo lo zero il modulo è già sceso del tutto e la fase della rete tende a tornare a $0$. Più lo zero è lontano da $\omega_A^*$, meno fase si perde: in $\omega_A^*$ il contributo di fase è $\arctan\frac{\omega_A^*}z-\arctan\frac{\omega_A^*}p\approx-\frac{z-p}{\omega_A^*}$ rad, circa $-5{,}1^\circ$ per $z=\frac{\omega_A^*}{10}$ e $-0{,}6^\circ$ per $z=\frac{\omega_A^*}{100}$. Se questo supera $\Phi$ si allontana lo zero.
2. Polo: $p=z\cdot10^{-M/20}$, cioè il polo precede lo zero di $\frac M{20}$ decadi: la differenza di quota tra le due pulsazioni è proprio l'attenuazione da ottenere.

Esempio 1. $C'G=\dfrac{100}{(1+s)(1+\frac s{10})}$ (tipo $0$), $\omega_A^*=10$ rad/s, $m_\varphi^*=45^\circ$. In $\omega=10$: modulo $+16{,}95$ dB (quindi $\omega_A>\omega_A^*$: $M=16{,}95$ dB da togliere), fase $-\arctan10-\arctan1=-129{,}3^\circ$, cioè $m_\varphi(\omega_A^*)=50{,}7^\circ\ge45^\circ$: caso ③ con $\Phi=5{,}7^\circ$. Zero in $z=1$ (una decade prima di $10$), polo $p=10^{-16{,}95/20}=0{,}142$ rad/s: $$C''(s)=\frac{1+s}{1+\frac s{0{,}142}}=\frac{1+s}{1+7{,}04\,s}\ \Longrightarrow\ C'C''G=\frac{100}{(1+\frac s{10})(1+7{,}04s)}.$$ Verifica: $\omega_A=10{,}03$, fase $-134{,}3^\circ$, $m_\varphi=45{,}7^\circ\ge45^\circ$ ✓ (la perdita di fase è $5{,}0^\circ$, giusto nei $5{,}7^\circ$ disponibili). Nell'esame del luglio 2025 la stessa idea dà $C''=\frac{1+0{,}1s}{1+s}$ per attenuare $20$ dB con $\omega_A^*=100$ (Esercizio 19 · sintesi con PI e rete attenuatrice (tema d'esame luglio 2025)).

La rete a sella

Nel caso ④ ($\omega_A>\omega_A^*$ e $m_\varphi(\omega_A^*)<m_\varphi^*$) bisogna abbassare il modulo di $M$ dB e alzare la fase di $\Phi$ gradi. Né l'anticipatrice (alza il modulo) né la sola attenuatrice (abbassa la fase) bastano: si usa una rete a sella, prodotto di una attenuatrice e di una anticipatrice: $$C_{sella}(s)=C_{att}(s)\,C_{ant}(s)=\frac{\big(1+\frac s{z_1}\big)\big(1+\frac s{z_2}\big)}{\big(1+\frac s{p_1}\big)\big(1+\frac s{p_2}\big)},\qquad0<p_1<z_1\le z_2<p_2,\quad K_B=1.$$ Il modulo ha una "sella": scende, resta in basso tra $z_1$ e $z_2$, risale. La fase è negativa e poi positiva: la parte anticipatrice, intorno a $\omega_A^*$, alza la fase.

Procedura in due passi.

1. Rete anticipatrice per la fase: si pone $z_2$ in modo che aggiunga la fase $\Phi$ (se $\Phi\le90^\circ$ basta uno zero a $\Delta/20$ decadi prima di $\omega_A^*$: $\Delta=20$ dB per $84^\circ$, $\Delta=40$ per $89^\circ$) e un polo $p_2$ lontano (Reti anticipatriciLa rete anticipatrice $C_{ant}(s)=\frac{1+s/z}{1+s/p}=\frac{1+sT}{1+\alpha Ts}$ con $0<z<p$ ($\alpha=\frac zp<1$) ha $K_B=1$, alza il modulo di $20\log\frac pz$ dB tra $z$ e $p$ e aggiunge fase (massimo $\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ in $\sqrt{zp}$). Si usa nei casi ②, ④ (parte anticipatrice) della sintesi: con $\Phi\le90^\circ$ si mette uno zero $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^$; con $90^\circ<\Phi\le180^\circ$ due zeri a $\frac M{40}$ decadi; il polo (o i poli) almeno una o due decadi dopo $\omega_A^$ per rendere la rete propria.Reti anticipatrici →). Questa parte alza il modulo di $\Delta$ dB in $\omega_A^*$.
2. Rete attenuatrice che toglie $M+\Delta$ dB (il necessario più quanto la parte anticipatrice ha aggiunto): zero $z_1\le\frac{\omega_A^*}{10}$ e polo $p_1=z_1\cdot10^{-(M+\Delta)/20}$, abbastanza a sinistra da non alterare la fase in $\omega_A^*$ (la fase persa è circa $\frac{z_1}{\omega_A^*}$ rad).

Esempio 2. $C'G=\dfrac{10^4}{(1+10s)^2}$ (tipo $0$, errore $10^{-4}$ già garantito dal guadagno), $\omega_A^*=1$ rad/s, $m_\varphi^*=80^\circ$. In $\omega=1$ il modulo è $+39{,}9$ dB: $M=39{,}9\approx40$ dB da togliere. La fase è $-2\arctan10=-168{,}6^\circ$, $m_\varphi(\omega_A^*)=11{,}4^\circ<80^\circ$, $\Phi=68{,}6^\circ$: caso ④. Anticipatrice con zero a $\frac{\omega_A^*}{10}=0{,}1$ (aggiunge $\Delta=20$ dB e $84{,}3^\circ$) e polo in $100$ (costa $0{,}6^\circ$): $C_{ant}=\frac{1+10s}{1+0{,}01s}$. Attenuatrice che deve togliere $M+\Delta=60$ dB: zero in $0{,}1$ (una decade prima di $\omega_A^*$) e polo $0{,}1\cdot10^{-3}=10^{-4}$: $C_{att}=\frac{1+10s}{1+10^4s}$. La rete a sella: $$C''=\frac{(1+10s)^2}{(1+10^4s)(1+0{,}01s)}.$$ Verifica: in $\omega=1$ il modulo del controllore è $-39{,}9$ dB e la fase $+78{,}0^\circ$: $C'C''G$ ha $\omega_A=1{,}00$ e fase $-90{,}6^\circ$, cioè $m_\varphi=89{,}4^\circ\ge80^\circ$ ✓. L'errore a regime $10^{-4}$ è invariato perché $K_B(C'')=1$.

Errori comuni

• Usare una rete attenuatrice con lo zero troppo vicino a $\omega_A^*$: toglie troppa fase.
• Dimenticare che la parte anticipatrice della sella alza il modulo di $\Delta$ e che l'attenuatrice deve togliere $M+\Delta$, non solo $M$.
• Confondere l'ordine: nell'attenuatrice il polo precede lo zero ($p<z$), nell'anticipatrice lo zero precede il polo ($z<p$).
• Abbassare il modulo con un guadagno $K_B<1$: viola la specifica sull'errore.