Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabile

La versione ristretta del criterio (Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridottoSia $G$ razionale propria, di cui si conosce il numero $n_{G+}$ di poli con $\mathrm{Re}>0$, e il diagramma di Nyquist completo. Sotto C1 (il diagramma resta al finito, cioè $G$ non ha poli sull'asse immaginario) e C2 (il diagramma non passa per il punto critico $-1+j0$) si ha $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $N$ numero di giri del diagramma attorno a $-1$ contati $+$ in senso antiorario e $-$ in senso orario e $n_{W+}$ numero di poli con $\mathrm{Re}>0$ di $W=\frac G{1+G}$. Quindi $W$ è BIBO stabile $\iff N=n_{G+}$; se $G$ è BIBO stabile ($n_{G+}=0$), $W$ è stabile $\iff N=0$ (criterio ridotto).Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridotto →) richiede due condizioni: C1 (diagramma al finito) e C2 (non passa per $-1$). Nelle applicazioni si presentano quasi sempre sistemi con un integratore, cioè un polo nell'origine, e si vuole studiare $\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K$. Questa nota rimuove le restrizioni.

Rimozione di C1: chiusura al finito

Se $G$ ha un polo in $s=j\omega_0$ sull'asse immaginario il diagramma tende a infinito per $\omega\to\omega_0$. Si modifica il cammino di Nyquist aggirando il polo con una semicirconferenza di raggio $\epsilon$ nel semipiano destro: $s=j\omega_0+\epsilon e^{j\theta}$, $\theta$ da $-\frac\pi2$ a $\frac\pi2$. In tal modo il polo resta fuori dal semipiano destro racchiuso dal cammino e non viene contato in $n_{G+}$: $n_{G+}$ è il numero dei poli con $\mathrm{Re}>0$ stretto.

Sulla semicirconferenza piccola, per un polo di molteplicità $\mu$, $G(s)\approx\frac r{(s-j\omega_0)^\mu}=\frac r{\epsilon^\mu}e^{-j\mu\theta}$: l'argomento diminuisce di $\mu\pi$ mentre $\theta$ cresce di $\pi$, il modulo è enorme. L'immagine è un arco di circonferenza di raggio infinito percorso in senso orario, di ampiezza $\mu\pi$. Si ottiene la regola:

Chiusura al finitocollegamento dei rami del diagramma che vanno all'infinito con archi di circonferenza di raggio infinito. Per ogni polo $j\omega_0$ di $G$ di molteplicità $\mu$, si collega l'estremo del ramo che arriva a infinito per $\omega\to\omega_0^-$ con l'estremo del ramo che riparte da infinito per $\omega\to\omega_0^+$ con un arco orario di ampiezza $\mu\pi$ e raggio infinito. Per $\omega_0>0$ si considera anche il polo coniugato $-j\omega_0$ (la chiusura è simmetrica).

Esempi: un solo polo nell'origine ($\mu=1$): una semicirconferenza oraria (angolo $\pi$) tra $G(j0^-)$ e $G(j0^+)$; due poli ($\mu=2$): un cerchio orario completo ($2\pi$) che circonda ogni punto del piano finito; coppia di poli immaginari semplici $\pm j\omega_0$: due semicirconferenze orarie.

La formula del criterio resta $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $N$ numero di giri del diagramma chiuso attorno a $-1$ (antiorario $+$).

Rimozione di C2 e caso critico

Se il diagramma passa per $-1$, esiste $\tilde\omega$ con $G(j\tilde\omega)=-1$, cioè $1+G(j\tilde\omega)=0$: $j\tilde\omega$ è polo di $W$, quindi $W$ non è BIBO stabile (poli sull'asse). Il criterio non permette di contare i poli instabili in quel caso, ma per valori di $K$ vicini si può dedurre il resto dal numero di giri.

Guadagno variabile: $W(s)=\dfrac{KG(s)}{1+KG(s)}$, $K\in\mathbb R$, $K\ne0$

Si scrive $\frac{KG}{1+KG}=\frac G{\frac1K+G}$: per il criterio si usa il punto critico mobile $$-\frac1K+j0\quad\text{sull'asse reale}.$$ Se $K>0$ il punto è sul semiasse negativo ($-\frac1K<0$); se $K<0$ sul semiasse positivo. Il numero $n_{G+}$ non dipende da $K$; il numero di giri $N=N(K)$ dipende solo da in quale intervallo dell'asse reale cade $-\frac1K$, e cambia solo quando il punto attraversa il diagramma. Quindi: $$n_{W+}(K)=n_{G+}-N(K).$$

Metodo (semiretta a destra).

1. Tracciare il diagramma completo con la chiusura al finito, segnando con le frecce il verso di percorrenza.
2. Ordinare le intersezioni del diagramma con l'asse reale: $x_1<x_2<\dots$ (compresi il punto $G(\infty)$ se $G$ è bipropria, $K_B$ se $h=0$, e l'origine se $G$ è strettamente propria).
3. Per ogni intervallo dell'asse reale, scegliere un punto $p$ dell'intervallo e contare $N$ come numero di attraversamenti della semiretta a destra di $p$ (dall'ascissa $p$ a $+\infty$) con segno: $+1$ se il diagramma la attraversa dal basso verso l'alto (antiorario), $-1$ se dall'alto verso il basso (orario). Gli archi di chiusura che passano per l'asse reale positivo a $+\infty$ sono attraversamenti dall'alto verso il basso (orari).
4. Tradurre in $K$: $K=-\frac1p$. Attenzione: quando $p$ cresce da $-\infty$ a $0^-$, $K$ va da $0^+$ a $+\infty$; quando $p$ va da $0^+$ a $+\infty$, $K$ va da $-\infty$ a $0^-$.
5. Casi critici: $K=-\frac1{x_i}$ per ogni intersezione $x_i$, dove $W$ ha poli immaginari (non BIBO stabile). Inoltre se $G$ è bipropria con $G(\infty)=g_\infty$, per $K=-\frac1{g_\infty}$ la funzione $W$ non è propria, quindi non è BIBO stabile.

Esempio: $G(s)=\dfrac{10}{s(1+s)(1+\frac s{10})}$

Il diagramma è stato calcolato in Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioniIl diagramma di Nyquist di $G(s)$ è la curva ${G(j\omega):\omega\in\mathbb R}$ nel piano complesso, percorsa per $\omega$ crescente; per $\omega<0$ è il simmetrico rispetto all'asse reale di quella per $\omega>0$. Si traccia combinando modulo e fase di Bode: per $\omega\to0^+$ parte da $K_B$ (se $h=0$) o da infinito con angolo $\arg K_B-90^\circ h$ (asintoto verticale $\mathrm{Re}=K_B(\sum T_i'-\sum T_i)$ per $h=1$), per $\omega\to\infty$ arriva nell'origine con angolo $-90^\circ(n-m)$. Le intersezioni con gli assi si trovano da $\mathrm{Im},G(j\omega)=0$ e $\mathrm{Re},G(j\omega)=0$.Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioni →: asintoto $\mathrm{Re}=-11$, interseca l'asse reale negativo in $x_1=-\frac{10}{11}$ per $\omega=\sqrt{10}$, arriva nell'origine dall'alto. Qui $n_{G+}=0$ e il polo nell'origine ha $\mu=1$: la chiusura è una semicirconferenza oraria dall'estremo $\omega\to0^-$ (che sta in $\mathrm{Im}\to+\infty$) all'estremo $\omega\to0^+$ ($\mathrm{Im}\to-\infty$), passando per $+\infty$ sull'asse reale. Si contano gli attraversamenti dell'asse reale con la semiretta a destra del punto:

• Il diagramma completo attraversa l'asse reale in $x_1=-\frac{10}{11}$ due volte, verso l'alto (una volta per $\omega<0$ e una per $\omega>0$), all'infinito positivo una volta verso il basso (arco di chiusura), nell'origine una volta verso il basso (il diagramma arriva dall'alto per $\omega\to\infty$ e riparte dal basso per $\omega\to-\infty$).

Risultato: $W$ è BIBO stabile $\iff0<K<1{,}1$; per $K=1{,}1$ ha poli $\pm j\sqrt{10}$ (caso critico); per $K>1{,}1$ ha due poli instabili; per $K<0$ ne ha uno. Verifica numerica: per $K=-5$ e $K=-0{,}1$ un polo in $\mathrm{Re}>0$; per $K=0{,}3,\ 1$ nessuno; per $K=1{,}101$ e $3$ due; per $K=1{,}1$ i poli sono $-11$ e $\pm j\sqrt{10}$ ✓.

Sistemi con ritardo di tempo

Se nell'anello c'è un ritardo puro $T$, la catena aperta è $G(s)e^{-sT}$, che non è razionale (non si può usare Routh) ma si studia benissimo con Nyquist: $G(j\omega)e^{-j\omega T}$ ha lo stesso modulo di $G(j\omega)$ e fase diminuita di $\omega T$ radianti. Il diagramma "si avvolge" attorno all'origine sempre più al crescere di $\omega$ (una spirale). Se $G$ è stabile, $W=\frac{KGe^{-sT}}{1+KGe^{-sT}}$ è stabile se e solo se il diagramma non circonda il punto critico, e il limite è dove passa per $-\frac1K$.

Esempio. $G=\frac1{s+1}$, controllo proporzionale $K=2$. Qui $|KG(j\omega)|=\frac2{\sqrt{1+\omega^2}}$, che vale $1$ per $\omega_A=\sqrt3$. La fase con il ritardo è $-\arctan\omega-\omega T$ e vale $-\pi$ quando $-\arctan\sqrt3-\sqrt3\,T=-\pi$, cioè per $$T_c=\frac{\pi-\frac\pi3}{\sqrt3}=1{,}209\ \mathrm s.$$ Per $T<T_c$ il sistema è stabile, per $T>T_c$ no; per $T=T_c$ si ha $s=\pm j\sqrt3$ radice di $s+1+2e^{-sT_c}=0$ (verificato: $1+j\sqrt3+2e^{-j\sqrt3\cdot1{,}209}=0$). Un guadagno più alto sopporta ritardi minori: per $K=10$, $\omega_A=9{,}95$ e $T_c=\frac{\pi-1{,}471}{9{,}95}=0{,}168$ s (Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di BodeLa pulsazione di attraversamento $\omega_A$ è la $\omega>0$ in cui $|G(j\omega)|=1$ (0 dB); il margine di fase è $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$: quanta fase si può ancora perdere prima di arrivare a $-180^\circ$. Criterio di Bode: se $G$ è strettamente propria, ha guadagno di Bode $K_B>0$, nessun polo con $\mathrm{Re}>0$ e $\omega_A$ è ben definita (esiste ed è unica), allora $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$. Più $m_\varphi$ è grande, più il sistema è lontano dall'instabilità e meno oscilla.Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode → sul margine di fase e i ritardi).

Riassunto: Nyquist, Routh e luogo

Lo stesso problema si può affrontare con tre strumenti:

Nei temi d'esame si chiede spesso di verificare con Routh il risultato ottenuto con Nyquist: i numeri coincidono.

Errori comuni

• Dimenticare la chiusura all'infinito per i poli nell'origine (arco orario di $\mu\pi$), o disegnarla antioraria.
• Contare nei $n_{G+}$ anche i poli immaginari: non vanno contati.
• Confondere la direzione di $K$ rispetto a $-\frac1K$: a sinistra di $x_1$ sono i $K>0$ piccoli.
• Dimenticare i casi critici ($K=-\frac1{x_i}$) e il caso $W$ non propria.
• Contare giri "a occhio": meglio il metodo della semiretta con attraversamenti con segno.