Esercizio 24PAM con impulso triangolare, causalità, ISI e probabilità d'errore (tema d'esame febbraio 2025)

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Teoria usata: Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →, PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →, Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →, Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →.

(1) Progetto dell'impulso

Il triangolo $\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right)$ è nullo fuori da $[t_0-T,\ t_0+T]$: ha durata $2T$ (per $T=2$ ms: $[2,6]$ ms; $T=4$ ms: $[0,8]$ ms; $T=8$ ms: $[-4,12]$ ms). Interpretazione (il parametro $T$ è la scelta da progettare; il periodo di simbolo è la durata dell'impulso):

• Causalità: serve $t_0-T\ge0$, cioè $T\le t_0=4$ ms: $T=8$ ms è scartato (impulso non nullo per $t<0$).
• Assenza di ISI: i simboli successivi non si devono sovrapporre, quindi il periodo di simbolo deve essere almeno la durata dell'impulso, $T_s\ge2T$. Per esempio con la sequenza $\{1,-2,0\}$ e $T_s<2T$ le code dei triangoli si sommerebbero.
• Rate massimo: $T_s=2T$ e la frequenza di simbolo è $\frac1{2T}$: più piccolo è $T$, più alto è il rate.

Si sceglie quindi $T=2$ ms (causale, $T_s=2T=4$ ms, $250$ simboli/s). Con $T=4$ ms l'impulso sarebbe causale ma con $T_s=8$ ms il rate sarebbe dimezzato ($125$ simboli/s).

(2) Base in ricezione e costellazione

Energia dell'impulso unitario $\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right)$: $E_h=\int_{-T}^T\left(1-\frac{\lvert t\rvert}T\right)^2dt=\frac{2T}3=\frac{4\cdot10^{-3}}3=1{,}333\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}$. L'attenuazione di $20$ dB in potenza è un fattore $100$ sull'energia: $E_{h,rx}=1{,}333\cdot10^{-5}$, $\sqrt{E_{h,rx}}=3{,}651\cdot10^{-3}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}$. Base (una sola funzione, $I=1$): $\phi=\frac{\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right)}{\sqrt{E_h}}$. Punti: $$\mathbf s_1=-2\sqrt{E_{h,rx}}=-7{,}30\cdot10^{-3},\qquad\mathbf s_2=0,\qquad\mathbf s_3=+\sqrt{E_{h,rx}}=3{,}65\cdot10^{-3}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}.$$ Con MD le soglie sono a metà: $\theta_{12}=-\sqrt{E_{h,rx}}=-3{,}65\cdot10^{-3}$ e $\theta_{23}=+\frac12\sqrt{E_{h,rx}}=+1{,}83\cdot10^{-3}$. Regioni $\mathcal R_1=(-\infty,\theta_{12}]$, $\mathcal R_2=[\theta_{12},\theta_{23}]$, $\mathcal R_3=[\theta_{23},\infty)$.

(3) SNR e probabilità di errore (caso A)

L'energia media per simbolo in ricezione (equiprobabili): $E_{s,rx}=\frac{4+0+1}3E_{h,rx}=\frac53E_{h,rx}=2{,}222\cdot10^{-5}\ \text{V}^2\text{s}$. Rumore: $\sigma_I^2=\frac{N_0}2=10^{-6}\ \text{V}^2\text{s}$ ($\sigma_I=10^{-3}$). Segnale in banda base, quindi $\Gamma=\frac{E_{s,rx}}{\sigma_I^2}$: $$\Gamma=22{,}2\ \Longrightarrow\ 13{,}5\ \text{dB}.$$ Con $\frac{\sqrt{E_{h,rx}}}{\sigma_I}=3{,}651$ le probabilità di errore per simbolo sono:

• $s_1=-2$: l'errore avviene solo verso l'alto, con rumore $>+\sqrt{E_{h,rx}}$: $Q(3{,}651)=1{,}3\cdot10^{-4}$;
• $s_2=0$: rumore $<-\sqrt{E_{h,rx}}$ oppure $>+\frac12\sqrt{E_{h,rx}}$: $Q(3{,}651)+Q(1{,}826)=1{,}3\cdot10^{-4}+0{,}0339=0{,}0340$;
• $s_3=+1$: rumore $<-\frac12\sqrt{E_{h,rx}}$: $Q(1{,}826)=0{,}0339$.

$$P[E]=\frac13\left(1{,}3\cdot10^{-4}+0{,}0340+0{,}0339\right)=0{,}0227.$$ (Il termine dominante è la vicinanza di $s_2$ e $s_3$, distanti solo $\sqrt{E_{h,rx}}$.)

(4) Caso B

Ora le probabilità sono $\left(\frac14,\frac12,\frac14\right)$: non equiprobabili, quindi il criterio ottimo è il MAP (MD non lo è). Soglie MAP, con $\theta_{ij}=\frac{s_i+s_j}2+\sigma_I^2\frac{\ln(p_i/p_j)}{s_j-s_i}$ e $s_2-s_1=2\sqrt{E_{h,rx}}=7{,}30\cdot10^{-3}$, $s_3-s_2=\sqrt{E_{h,rx}}=3{,}65\cdot10^{-3}$: $$\theta_{12}=-3{,}651\cdot10^{-3}+\frac{10^{-6}\ln\frac{0{,}25}{0{,}5}}{7{,}30\cdot10^{-3}}=-3{,}651\cdot10^{-3}-0{,}095\cdot10^{-3}=-3{,}746\cdot10^{-3},$$ $$\theta_{23}=1{,}826\cdot10^{-3}+\frac{10^{-6}\ln\frac{0{,}5}{0{,}25}}{3{,}651\cdot10^{-3}}=1{,}826\cdot10^{-3}+0{,}190\cdot10^{-3}=2{,}016\cdot10^{-3}$$ (in unità di $\sqrt{E_{h,rx}}$: $-1{,}026$ e $+0{,}552$ al posto di $-1$ e $+0{,}5$). Le soglie si spostano verso i simboli meno probabili, allargando la regione di $s_2$ ($p_2=0{,}5$). Probabilità di errore: $P[E]=1-\sum_ip_i'P_{i|i}$ con $P_{1|1}=1-Q\left(\frac{\theta_{12}-s_1}{\sigma_I}\right)$, $P_{2|2}=Q\left(\frac{\theta_{12}-s_2}{\sigma_I}\right)-Q\left(\frac{\theta_{23}-s_2}{\sigma_I}\right)$, $P_{3|3}=Q\left(\frac{\theta_{23}-s_3}{\sigma_I}\right)$: $$P[E]_{MAP}=0{,}0238,\qquad(P[E]\text{ con le soglie MD}=0{,}0256).$$ Il MAP migliora di circa il $7\%$ rispetto al MD ($0{,}0238$ contro $0{,}0256$).

(Verificato con Python: $\sqrt{E_{h,rx}}=3{,}6515\cdot10^{-3}$, $\Gamma=22{,}22$, $P[E]_A=0{,}02272$, soglie MAP $-3{,}7464\cdot10^{-3}$ e $2{,}0156\cdot10^{-3}$, $P[E]_B=0{,}02379$, MD $0{,}02556$.)

Errori comuni

• Prendere la durata dell'impulso uguale a $T$: il triangolo $\operatorname{triang}\left(\frac tT\right)$ ha durata $2T$ (e $T_s\ge2T$).
• Calcolare l'energia del triangolo come quella di un rettangolo: per $\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right)$ di ampiezza unitaria vale $\frac{2T}3$.
• Dimenticare di attenuare (fattore $100$ sull'energia).
• Usare MD nel caso B perché "è più semplice": non è ottimo con probabilità diverse.