Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori

Che cosa fa un quantizzatore

Il quantizzatore prende in ingresso un valore reale $a(mT_s)$ e restituisce un elemento di un insieme finito di livelli: $$Q:\ \mathbb R\to\mathcal A_q=\{Q_0,Q_1,\dots,Q_{L-1}\},\qquad L=2^b,$$ dove $b$ è il numero di bit per campione (Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione →). Lo si descrive con una funzione caratteristica (la "scala"): la retta $a_q=a$ sarebbe il caso ideale, la funzione a gradini ne è l'approssimazione.

Quantizzatore uniforme (PCM)

Nel PCM (pulse code modulation) i gradini sono tutti uguali. Per progettarlo:

1. si sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ (tensione di saturazione $V_{sat}$);
2. si fissa il numero di livelli $L=2^b$;
3. il passo di quantizzazionelarghezza di ogni gradino del quantizzatore uniforme è $$\boxed{\Delta=\frac{2V_{sat}}L.}$$
4. si divide $\mathbb R$ in $L$ regioni $\mathcal R_i$ disgiunte la cui unione è $\mathbb R$: le $L-2$ regioni centrali hanno ampiezza $\Delta$ e le due esterne si estendono all'infinito; a ciascuna si associa un livello $Q_i$ (di solito il punto centrale della regione).

Mid-riser. È il quantizzatore con una soglia nell'origine: $0$ non è un livello, la funzione "sale" in $0$. I livelli sono $$Q_i=\pm\frac\Delta2,\ \pm\frac{3\Delta}2,\ \dots,\ \pm\frac{(L-1)\Delta}2,$$ e le soglie sono $k\Delta$ con $k=-\frac L2+1,\dots,\frac L2-1$ (cioè $0,\pm\Delta,\pm2\Delta,\dots$). Il mid-treadquantizzatore con un livello in zero ha invece il livello $0$ (la funzione ha un "piano" in $0$): i livelli sono $0,\pm\Delta,\dots$. Negli esercizi del corso si usa il mid-riser.

Esempio. $L=8$ ($b=3$) e $V_{sat}=4$ V: $\Delta=1$ V; livelli $\pm0{,}5,\ \pm1{,}5,\ \pm2{,}5,\ \pm3{,}5$ V; soglie $-3,-2,-1,0,1,2,3$ V. L'ingresso $1{,}2$ V cade tra le soglie $1$ e $2$ e diventa $1{,}5$ V (errore $+0{,}3$); l'ingresso $-5$ V è oltre $-V_{sat}$, satura nel livello più basso $-3{,}5$ V.

L'errore di quantizzazione

Si definisce l'errore di quantizzazione $$e_q(mT_s)=a_q(mT_s)-a(mT_s)\quad\Longleftrightarrow\quad a_q=a+e_q,$$ quindi l'uscita è il segnale più un "rumore" additivo, come se l'errore fosse dovuto al canale (SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →). Nel grafico $e_q(a)$ ha l'andamento a dente di sega: dentro il range dinamicointervallo di valori che il quantizzatore rappresenta senza saturare l'errore ha ampiezza al più $\frac\Delta2$ (errore granulare); fuori dal range cresce linearmente con la distanza da $V_{sat}$ (errore di saturazione).

La potenza statistica dell'errore, con la densità $p_a$ del campione, si scrive come somma di tre integrali sulle tre zone dell'asse reale: $$E\left[e_q^2\right]=\underbrace{\int_{-\infty}^{-V_{sat}}\left(Q_0-u\right)^2p_a(u)du}_{\text{saturazione}}+\underbrace{\int_{-V_{sat}}^{V_{sat}}\left(Q(u)-u\right)^2p_a(u)du}_{\text{granulare}}+\underbrace{\int_{V_{sat}}^{+\infty}\left(Q_{L-1}-u\right)^2p_a(u)du}_{\text{saturazione}}.$$ È un calcolo complesso: si semplifica con due ipotesi.

• (A) La probabilità di saturazione $P_{sat}$ è piccola. Si trascura l'errore di saturazioneerrore dei campioni che escono dal range dinamico. La probabilità di saturazione è la probabilità che il campione esca dal range: $$P_{sat}=P\left[\lvert a\rvert>V_{sat}\right]=\int_{\lvert u\rvert>V_{sat}}p_a(u)\,du.$$ Per un segnale gaussiano a media nulla e varianza $\sigma^2$: $P_{sat}=2Q\left(\frac{V_{sat}}\sigma\right)$. Per un esponenziale (solo valori positivi): $P_{sat}=e^{-\lambda V_{sat}}$ (se il range parte da 0). Per una laplaciana: $P_{sat}=e^{-V_{sat}/b}$.
• (B) $L$ è grande ($\Delta$ piccolo rispetto a come varia la densità). Dentro ogni intervallo la densità $p_a$ è quasi costante, quindi l'errore granulareerrore commesso dentro il range dinamico, al più mezzo passo è uniforme in $\left[-\frac\Delta2,\frac\Delta2\right]$: $p_{e}(e)=\frac1\Delta\operatorname{rect}\left(\frac e\Delta\right)$. Perciò $$m_e=0,\qquad M_e=E\left[e^2\right]=\frac1\Delta\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}e^2de=\frac1\Delta\cdot\frac{2}{3}\left(\frac\Delta2\right)^3=\boxed{\frac{\Delta^2}{12}.}$$

Il risultato è, per $e$ uniforme in un intervallo largo $\Delta$, la varianza $\frac{\Delta^2}{12}$ (si veda Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioniUna variabile aleatoria è descritta da una PMD (discreta) o da una PDF (continua) e dalla funzione di ripartizione; per la gaussiana $P[x>a]=Q\left(\frac{a-m}{\sigma}\right)$ con la funzione coda $Q$. Media $m_x$, varianza $\sigma_x^2$ e potenza statistica $M_x=\sigma_x^2+m_x^2$. Per un vettore aleatorio contano l'indipendenza, le probabilità condizionate (totali e di Bayes) e la correlazione; combinazioni lineari di gaussiane sono gaussiane, e gaussiane scorrelate sono indipendenti.Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioni →).

Il compromesso nella scelta di $V_{sat}$ e $L$

• Per minimizzare $P_{sat}$ si prende $V_{sat}$ grande (per un segnale gaussiano $V_{sat}\approx3\sigma$ dà $P_{sat}=2{,}7\cdot10^{-3}$, $4\sigma$ dà $6{,}3\cdot10^{-5}$, $5\sigma$ dà $5{,}7\cdot10^{-7}$).
• Ma a $L$ fisso $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$ cresce con $V_{sat}$ e l'errore granulare $\frac{\Delta^2}{12}$ aumenta: occorre $L$ grande, cioè più bit.
• Se $L$ è enorme e $\Delta$ minuscolo, l'errore granulare diventa tanto piccolo che l'errore di saturazione non è più trascurabile: la semplificazione (A) cade e va incluso nel conto (è il caso $L'=800$ del foglio di esercizi, in cui l'errore di saturazione diventa paragonabile a quello granulare: SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →).

Probabilità dei livelli. Con la densità si calcola la probabilità di ogni livello, $P[Q_i]=\int_{\mathcal R_i}p_a(u)\,du$. Per un gaussiano $\mathcal N(0,\sigma^2)$ con $L=8$, $\Delta=\sigma$ ($V_{sat}=4\sigma$):

(ciascuna per ognuno dei due livelli simmetrici; la somma $2(0{,}3413+0{,}1359+0{,}0214+0{,}00135)\approx1$.) Servono per l'entropia in uscita (Informazione ed entropiaL'informazione di un evento di probabilità $p$ è $\log_2\frac1p$ bit; l'entropia $H(x)=\sum p\log_2\frac1p$ è l'informazione media e misura l'incertezza della sorgente: $0\le H\le\log_2M$, con il massimo quando i simboli sono equiprobabili. Per più simboli: $H(x,y)\le H(x)+H(y)$ (uguaglianza se indipendenti), $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$. Per una sorgente con $F_s$ simboli al secondo il rate di informazione è $F_sH_s$, il rate nominale $F_s\log_2M$ e l'efficienza $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.Informazione ed entropia →): sono quasi tutte diverse, quindi la codifica a lunghezza fissa non è efficiente.

Quantizzatori non uniformi

Se la densità non è uniforme (per esempio la voce, con molti valori vicini a zero) conviene essere più precisi dove i campioni cadono più spesso. Il modo più tipico è il compandercompressore, quantizzatore uniforme ed espansore in cascata, per avere gradini non uniformi: un blocco compressore deforma la scala, un quantizzatore uniforme lavora sul segnale compresso e un espansore riporta la scala originale. Si può anche scegliere i gradini in modo ottimo per la densità. All'esame viene chiesta solo l'idea.

Errori comuni

• Dire $\Delta=\frac{V_{sat}}L$ (manca il fattore 2 se il range è simmetrico $[-V_{sat},V_{sat}]$; per un range $[0,V_{sat}]$ è $\Delta=\frac{V_{sat}}L$).
• Scrivere il mid-riser con livello $0$: i livelli sono a $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$.
• Calcolare $P_{sat}$ con una sola coda per un segnale simmetrico: sono due code, $2Q\left(\frac{V_{sat}}\sigma\right)$.
• Applicare $\frac{\Delta^2}{12}$ con $L$ piccolo o con $P_{sat}$ grande senza verificare le ipotesi.