Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli

Guadagno e rumore di un quadripolo

Un quadripolo (amplificatore, filtro, cavo, il front-end di un ricevitore: Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →) ha guadagno in potenza $g(f)=\frac{P_{out}}{P_{in}}$. Se al suo ingresso c'è una sorgente (per esempio un'antenna) con rumore a temperatura $T_S$, la densità di potenza di rumore all'ingresso è $\frac12kT_S$ e all'uscita, per il solo rumore della sorgente, $\frac12kT_Sg$.

Ma il quadripolo aggiunge del rumore proprio $P^{(A)}_{w,out}(f)$. Per descriverlo si usa lo stesso trucco della temperatura: si finge che il quadripolo sia ideale e che il rumore aggiunto sia dovuto a una temperatura in più, $T_A(f)$, riferita all'ingresso: $$P^{(A)}_{w,out}=\tfrac12kT_A\,g\qquad\Rightarrow\qquad T_A(f)=\frac{P^{(A)}_{w,out}(f)}{\frac12kg(f)}.$$ La densità di potenza totale all'uscita è $$P_{w,out}=\tfrac12kT_Sg+\tfrac12kT_Ag=\tfrac12k\,T_{eff}\,g,\qquad\boxed{T_{eff}=T_S+T_A\quad(\text{temperatura efficace}).}$$

Figura di rumore

Un altro modo di dare la stessa informazione è la figura di rumore (o cifra di rumore) $F$: quanto rumore si trova in uscita rispetto a quello che ci sarebbe se il quadripolo fosse ideale, con la sorgente alla temperatura di riferimento $T_S=T_0=290$ K: $$F(f)=\frac{P_{w,out}(f)}{P^{RIF}_{w,out}(f)}=1+\frac{T_A(f)}{T_0}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{T_A=T_0\,(F-1).}$$ Poiché $T_A\ge0$, $F\ge1$ ($0$ dB per un quadripolo ideale); $F$ si dà di solito in dB. Con una sorgente a $T_0$ la temperatura efficacesomma della temperatura della sorgente e di quella del quadripolo: determina il rumore totale è $T_{eff}=T_0+T_0(F-1)=T_0F$.

Quadripoli passivi (resistori, cavi: nessun amplificatore). Alla temperatura $T_0$ la potenza si conserva, il rumore in uscita è $\frac12kT_0$ e quello della sorgente attenuata $\frac12kT_0\,g$, per cui $$F=\frac1g=a\qquad(\text{figura di rumore}=\text{attenuazione in lineare}).$$ Un cavo con $3$ dB di attenuazione ha $F=3$ dB. Se il quadripolo è a una temperatura $T_1\ne T_0$: $F=1+\frac{T_1}{T_0}(a-1)$.

Cascata di quadripoli

Due quadripoli in cascata (guadagni $g_1,g_2$, temperature $T_1,T_2$, figure $F_1,F_2$):

• i guadagni si moltiplicano: $g_{tot}=g_1g_2$ (in dB si sommano);
• il rumore all'uscita è $\frac12k\left(T_S+T_1\right)g_1g_2+\frac12kT_2g_2$: il rumore proprio del secondo stadio non è amplificato da $g_1$, per cui, riferito all'ingresso, pesa $\frac1{g_1}$.

Si ottiene un quadripolo equivalente con $$\boxed{T_{eq}=T_1+\frac{T_2}{g_1},\qquad F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}}$$ e, con $N$ stadi, $$T_{eq}=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\frac{T_3}{g_1g_2}+\cdots,\qquad F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\cdots+\frac{F_N-1}{g_1\cdots g_{N-1}}.$$

L'ordine è rilevante (solo i guadagni sono commutativi): il rumore del primo stadio viene sommato per intero, quello dei successivi è diviso per i guadagni precedenti. Quindi in prima posizione deve andare il dispositivo migliore: bassa $T_A$ (basso $F$) e alto guadagno $g_1$. In generale c'è un compromesso tra i due requisiti.

Esempi

1. Quale amplificatore per primo (foglio di esercizi). Una sonda spaziale a $100$ K ha un'antenna con guadagno $20$ dB. Due amplificatori: $A_1$ con $g_1=5$ dB ($3{,}16$) e $F_1=5$ dB ($3{,}16$); $A_2$ con $g_2=8$ dB ($6{,}31$) e $F_2=7$ dB ($5{,}01$). Si vuole il massimo SNR di riferimento sull'ingresso. Il guadagno totale è lo stesso in entrambi gli ordini, quindi il segnale in uscita non cambia: si minimizza il rumore $kT_{eff}B$, cioè la figura di rumorerapporto tra il rumore in uscita e quello che ci sarebbe con un quadripolo ideale, con sorgente a 290 K (con $T_{eff}=T_S+T_0(F-1)$, crescente in $F$):

• $A_1\to A_2$: $F=3{,}16+\frac{5{,}01-1}{3{,}16}=4{,}43$ ($6{,}46$ dB), $T_{eff}=100+290\cdot3{,}43=1095$ K;
• $A_2\to A_1$: $F=5{,}01+\frac{3{,}16-1}{6{,}31}=5{,}35$ ($7{,}29$ dB), $T_{eff}=100+290\cdot4{,}35=1363$ K.

È meglio $A_1\to A_2$: il rumore è $1{,}24$ volte più basso ($\frac{1363}{1095}$), cioè SNR migliore di $0{,}95$ dB.

2. Cavo prima o dopo l'amplificatore a basso rumore. Un cavo con $a=3$ dB (a $T_0$) e un LNAamplificatore a basso rumore (low noise amplifier), da mettere per primo nella catena con $g=20$ dB e $F=2$ dB ($1{,}585$). LNA prima del cavo: $F=1{,}585+\frac{2-1}{100}=1{,}595$ ($2{,}03$ dB). Cavo prima dell'LNA: il cavo ha $g_1=\frac12$ e $F_1=2$: $F=2+\frac{1{,}585-1}{0{,}5}=3{,}17$ ($5{,}0$ dB). Per questo l'LNA si monta a ridosso dell'antenna, prima del cavo: $3$ dB in meno di rumore.

3. Tre stadi. LNA ($g=25$ dB, $F=1$ dB), mixer ($g=-6$ dB, $F=8$ dB), amplificatore a frequenza intermedia ($g=30$ dB, $F=4$ dB): $F_{eq}=1{,}26+\frac{6{,}31-1}{316}+\frac{2{,}51-1}{316\cdot0{,}25}=1{,}295$ ($1{,}12$ dB). I due stadi successivi quasi non contano: il primo domina.

Errori comuni

• Sommare le figure di rumore in dB (si sommano le figure lineari pesate).
• Mettere il dispositivo con $F$ più basso in fondo alla catena: il rumore degli stadi successivi è diviso per il guadagno prima di sé.
• Dimenticare $F-1$ nella formula di Friis per la cascata.
• Usare $T_A=T_0F$: è $T_A=T_0(F-1)$ ($T_{eff}=T_0F$ solo con sorgente a $T_0$).