Esercizio 18spettro, campionamento e filtraggio di sinc quadro più coseno (tema d'esame gennaio 2024)

---

Teoria usata: Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →, Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →.

(1) Lo spettro di $x$

Il segnale è la somma di due componenti con trasformate note, per linearità.

• Primo termine: $\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\Lambda\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)$ (regola di scala da $\operatorname{sinc}^2(t)\leftrightarrow\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)$, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →). Con $\omega_0=\frac\pi T$ si ha $\frac{T}{2\pi}=\frac1{2\omega_0}$, quindi $T\Lambda\left(\frac{\omega}{2\omega_0}\right)$: un triangolo di altezza $T$ e semibase $2\omega_0$ (supporto $|\omega|<2\omega_0$).
• Secondo termine: $\cos\left(\frac{3\pi}Tt\right)=\cos(3\omega_0t)\leftrightarrow\pi\left[\delta(\omega-3\omega_0)+\delta(\omega+3\omega_0)\right]$ (Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →).

$$X(\omega)=T\Lambda\left(\frac\omega{2\omega_0}\right)+\pi\,\delta(\omega-3\omega_0)+\pi\,\delta(\omega+3\omega_0).$$ Il grafico è un triangolo centrato nell'origine (altezza $T$, da $-2\omega_0$ a $2\omega_0$) più due impulsi di Dirac di area $\pi$ in $\pm3\omega_0$, fuori dal triangolo ($3\omega_0>2\omega_0$). Il segnale ha banda limitata, con massima pulsazione $3\omega_0$.

(2) Lo spettro di $y(t)=\cos(4\omega_0t)\,x(t)$

Modulazione: $Y(\omega)=\frac12\left[X(\omega-4\omega_0)+X(\omega+4\omega_0)\right]$. Trasla di $\pm4\omega_0$ ogni componente di $X$ dimezzandola: $$Y(\omega)=\frac T2\left[\Lambda\left(\frac{\omega-4\omega_0}{2\omega_0}\right)+\Lambda\left(\frac{\omega+4\omega_0}{2\omega_0}\right)\right]+\frac\pi2\left[\delta(\omega-7\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+7\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\right].$$ Gli impulsi: da $\delta(\omega\mp3\omega_0)$ traslati di $+4\omega_0$ si ottengono $\omega=7\omega_0$ ($3\omega_0+4\omega_0$) e $\omega=\omega_0$ ($-3\omega_0+4\omega_0$); traslati di $-4\omega_0$: $\omega=-\omega_0$ e $-7\omega_0$. Ciascuno ha area $\frac\pi2$. I due triangoli (altezza $\frac T2$) occupano $[2\omega_0,6\omega_0]$ e $[-6\omega_0,-2\omega_0]$: gli impulsi in $\pm\omega_0$ stanno tra i due triangoli (in $|\omega|<2\omega_0$, che è libero) e quelli in $\pm7\omega_0$ fuori (oltre $6\omega_0$). Nessuna sovrapposizione. (Controllo numerico: con $T=1$ le righe a $\omega_0$ e $7\omega_0$ hanno coefficiente esponenziale $\frac14$, cioè impulsi di area $2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2$; quella a $3\omega_0$ è nulla.)

(3) Frequenze minime di campionamento

Il criterio di Nyquist richiede $F_c\ge\frac{\omega_{\max}}\pi=2f_{\max}$ (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →).

• $x$: $\omega_{\max}=3\omega_0=\frac{3\pi}T$, quindi $F_c\ge\frac{3\pi/T}{\pi}=\frac3T$. (Il sinc quadro ha banda $2\omega_0$, ma la sinusoide a $3\omega_0$ è il punto più alto dello spettro: conta il massimo.)
• $y$: $\omega_{\max}=7\omega_0$, quindi $F_c\ge\frac{7\omega_0}{\pi}=\frac7T$. La modulazione ha alzato la massima pulsazione, e con essa la frequenza di campionamento necessaria: più del doppio.

(Per la sinusoide pura a $3\omega_0$ che si trova esattamente al limite, il rigore richiederebbe la disuguaglianza stretta; il testo usa $\ge$.)

(4) Il filtraggio $z=h*y$

La risposta in frequenza di $h(t)=\frac3{2T}\operatorname{sinc}\left(\frac3{2T}t\right)$ si ottiene da $\operatorname{sinc}\left(\frac t\tau\right)\leftrightarrow\tau\operatorname{rect}\left(\frac{\tau\omega}{2\pi}\right)$ con $\frac1\tau=\frac3{2T}$, $\tau=\frac{2T}3$: $$H(\omega)=\frac3{2T}\cdot\frac{2T}3\operatorname{rect}\left(\frac{\frac{2T}3\omega}{2\pi}\right)=\operatorname{rect}\left(\frac{T\omega}{3\pi}\right)=\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{3\omega_0}\right)$$ (perché $\frac{T}{3\pi}=\frac1{3\omega_0}$). Vale $1$ per $|\omega|<\frac32\omega_0$ e $0$ fuori: un passa-basso ideale con taglio $\frac32\omega_0$ e guadagno unitario (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →).

Il prodotto $Z(\omega)=H(\omega)Y(\omega)$ tiene solo ciò che sta in $|\omega|<\frac32\omega_0$: dello spettro di $Y$ restano soltanto gli impulsi in $\pm\omega_0$ (ora $\omega_0<\frac32\omega_0$ ✓); i triangoli (da $2\omega_0$) e gli impulsi in $\pm7\omega_0$ sono fuori banda e eliminati: $$Z(\omega)=\frac\pi2\left[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\right]\quad\Longrightarrow\quad z(t)=\frac12\cos(\omega_0t)=\frac12\cos\left(\frac{\pi t}T\right).$$ (Controllato numericamente filtrando in frequenza il segnale con $T=1$: la differenza con $\frac12\cos(\pi t)$ è dell'ordine di $10^{-12}$.)

Osservazione. Lo schema $y\to h\to$ campionatore è quello tipico di un convertitore A/D: il filtro passa-basso riduce la banda di $z$ a $\frac32\omega_0$, per cui bastano $F_c>\frac{\omega_0}{\pi}=\frac1T$ campioni al secondo per ricostruire $z$, molto meno dei $\frac7T$ necessari per $y$.

Errori comuni

• Dimenticare di moltiplicare per $\frac12$ le componenti modulate (triangoli ad altezza $\frac T2$, impulsi di area $\frac\pi2$).
• Calcolare gli impulsi di $Y$ come $3\omega_0\pm4\omega_0$ e dimenticare quelli di $-3\omega_0$ (sono quattro in tutto: $\pm\omega_0$, $\pm7\omega_0$).
• Prendere la banda del triangolo ($2\omega_0$) come $\omega_{\max}$ di $x$ ignorando la sinusoide a $3\omega_0$.
• Calcolare la banda di $H$ con il fattore sbagliato: $\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{3\omega_0}\right)$ ha semilarghezza $\frac32\omega_0$, non $3\omega_0$.