Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri

I segnali periodici sono i mattoni della serie di Fourier, e le sinusoidi sono i segnali con cui si "sonda" un sistema. Questa nota raccoglie tutte le regole su periodo e frequenza, sia nel continuo sia nel discreto. Per i parametri riassuntivi di un segnale periodico (valor medio, potenza su un periodo) vedi Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →.

Segnali periodici continui

Un segnale $x(t)$ è periodico di periodo $T_p$ (con $T_p>0$) se $$x(t) = x(t + T_p)\quad\text{per ogni } t.$$ Se vale per $T_p$ vale anche per ogni multiplo $kT_p$. Il periodo minimo (o fondamentale) è il più piccolo $T_p>0$ per cui la relazione vale. La frequenza fondamentale è $F = 1/T_p$ (in Hz) e la pulsazione fondamentale $\omega_0 = 2\pi/T_p$ (in rad/s). Un segnale costante è periodico con qualsiasi periodo (non ha periodo minimo).

Esponenziale immaginario puro. $x(t) = Ae^{j(2\pi f_0t+\varphi_0)}$. Vale $e^{j2\pi f_0(t+T)} = e^{j2\pi f_0t}\,e^{j2\pi f_0T}$ e il fattore $e^{j2\pi f_0T}$ è $1$ se e solo se $f_0T$ è intero. Il più piccolo $T>0$ è dunque $$T_p = \frac1{|f_0|}.$$ Proprietà: su un periodo ha area $0$ (l'integrale di $e^{j\omega t}$ su un numero intero di giri è nullo, vedi Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →), valor medio $0$ (se $f_0\ne0$), e poiché $|x|^2 = A^2$ la potenza è $P_x = A^2$.

Sinusoide $A\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$: stesso periodo $T_p = 1/f_0$, valor medio $0$, potenza $P = A^2/2$.

Somme di segnali periodici

Siano $x_1$ periodico di periodo $T_1$ e $x_2$ di periodo $T_2$. Si vuole sapere se $x_1+x_2$ è periodico. Occorre trovare $T$ che sia multiplo comune: $T = mT_1 = kT_2$ con $m,k$ interi positivi. Questo è possibile se e solo se $$\frac{T_1}{T_2} = \frac{k}{m} \in \mathbb{Q}.$$ Allora la somma è periodica, con periodo il minimo comune multiplo (si prendono $m,k$ primi tra loro).

Esempio 1 (rapporto razionale). $x(t) = \cos(2\pi\cdot3t) + \cos(2\pi\cdot4t)$. I periodi sono $T_1 = \frac13$ e $T_2=\frac14$. Rapporto $\frac{T_1}{T_2} = \frac43$ razionale. Si cerca $m\frac13 = k\frac14$: la più piccola soluzione è $m=3$, $k=4$, quindi $T = 1$. Controllo: in $T=1$ il primo coseno compie 3 giri, il secondo 4 ✓.

Esempio 2 (rapporto irrazionale). $s(t)=\cos(3t)$ ha $T_s = \frac{2\pi}{3}$; $w(t)$ periodico di periodo $2$. Il rapporto è $\frac{T_s}{T_w} = \frac{2\pi}{3}\cdot\frac12 = \frac\pi3\notin\mathbb{Q}$. Nessun multiplo del primo coincide con un multiplo del secondo: la somma non è periodica. È la tipica trappola dei temi d'esame (gennaio 2024, Esercizio 10 · ingressi periodici e zeri della risposta in frequenza (tema d'esame gennaio 2024)).

Esempio 3 (con $\cos^2$). $x(t) = A\sin\left(\frac{\pi t}{\Delta}\right) + A\cos^2\left(\frac{2\pi t}{3\Delta}\right)$. Con $\cos^2\alpha = \frac12+\frac12\cos2\alpha$ il secondo termine è $\frac A2 + \frac A2\cos\left(\frac{4\pi t}{3\Delta}\right)$: una costante più una sinusoide di periodo $\frac{2\pi}{4\pi/(3\Delta)} = \frac{3\Delta}2$. Il primo termine ha periodo $2\Delta$. Rapporto $\frac{2\Delta}{3\Delta/2} = \frac43$: $m\cdot2\Delta = k\cdot\frac{3\Delta}2$ con $m=3,k=4$ dà $T=6\Delta$. Il segnale è periodico di periodo $6\Delta$ (non quello di nessuno dei due termini presi da soli).

Potenza e valor medio di una somma di esponenziali. Se $x = \sum_i A_ie^{j(2\pi f_it+\varphi_i)}$ con frequenze tutte diverse e tutte non nulle, allora $m_x = 0$ e $P_x = \sum_iA_i^2$: le potenze si sommano perché i termini misti (prodotti di esponenziali a frequenze diverse) hanno media nulla, come mostra l'ortogonalità (Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →). Se una delle frequenze è zero, il valor medio è proprio quel termine costante.

Esponenziali e sinusoidi a tempo discreto

Nel discreto un segnale è periodico di periodo $N$ (intero $>0$) se $x(n) = x(n+N)$ per ogni $n$. Il periodo è sempre un intero.

Consideriamo $x(n) = e^{j\omega n}$ con $\omega\in\mathbb{R}$, scrivendo $\omega = 2\pi\nu$ dove $\nu$ è la frequenza numerica (in cicli per campione). Si ha $x(n+N) = e^{j2\pi\nu n}\,e^{j2\pi\nu N}$, quindi serve $\nu N\in\mathbb{Z}$:

$e^{j2\pi\nu n}$ è periodico se e solo se $\nu$ è razionale. Se $\nu = \frac pq$ con $p,q$ primi tra loro, il periodo minimo è $N=q$.

Esempio 4. $\cos\left(\frac{\pi n}{6}\right)$: $\omega = \frac\pi6$, $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac1{12}$: periodo minimo $N=12$.

Esempio 5. $\cos\left(\frac n6\right)$: $\omega = \frac16$, $\nu = \frac1{12\pi}$ irrazionale: non periodico, anche se il coseno continuo $\cos(t/6)$ è periodico! Il campionamento con passo $1$ s trasforma $\cos(t/6)$ in un segnale non periodico perché $T_{\text{cont}} = 12\pi$ s non è un multiplo del passo.

Esempio 6 (somma). $x(n) = e^{j2\pi n/3} + e^{j3\pi n/4}$. Il primo ha $\nu = \frac13$, periodo $3$. Il secondo ha $\omega=\frac{3\pi}4$, $\nu = \frac38$, periodo $8$. La somma ha periodo $\operatorname{mcm}(3,8) = 24$.

Sinusoidi campionate. Se $x(t) = \cos(2\pi f_0t)$ viene campionato con passo $T_c$, si ottiene $x(n) = \cos(2\pi f_0T_c\,n)$ con $\nu = f_0T_c$ (frequenza $f_0$ divisa per la frequenza di campionamento $F_c=1/T_c$). È periodico se $f_0T_c$ è razionale. Ad esempio con $f_0 = 1$ Hz e $T_c = \frac18$ s: $\nu = \frac18$, $N = 8$ campioni = $1$ s: lo stesso periodo del segnale continuo. Con $T_c = \frac{3}{8}$ s: $\nu = \frac38$, $N=8$ campioni = 3 s che sono 3 periodi del continuo: il periodo discreto è diverso.

L'ambiguità della frequenza nel discreto

Una differenza importante: nel continuo $e^{j\omega t}$ e $e^{j\omega' t}$ sono segnali diversi se $\omega\ne\omega'$. Nel discreto, essendo $n$ intero, $$e^{j(\omega+2\pi k)n} = e^{j\omega n}\,e^{j2\pi kn} = e^{j\omega n}\quad(k\in\mathbb{Z}),$$ perché $e^{j2\pi kn} = 1$. Pulsazioni che differiscono per un multiplo di $2\pi$ danno lo stesso segnale. Quindi basta considerare $\omega\in[-\pi,\pi)$, e per le sinusoidi reali, poiché $\cos(-\omega n) = \cos(\omega n)$, basta $\omega\in[0,\pi]$. Le pulsazioni "alte" sono quelle vicine a $\pi$ (la sinusoide a $\omega=\pi$ è $\cos(\pi n) = (-1)^n$, la più veloce possibile); $\omega=2\pi$ coincide con $\omega=0$.

Forma canonica discreta. Una sinusoide $A\cos(\omega n+\varphi)$, con $A>0$, si dice in forma canonica se $\omega\in[0,\pi]$ e $\varphi\in(-\pi,\pi]$. Per ridurre un'espressione qualunque:

1. si toglie dall'argomento ogni multiplo di $2\pi n$ (il coefficiente di $n$ si riduce modulo $2\pi$);
2. se il risultato ha pulsazione in $(\pi,2\pi)$ si usa $\cos(\omega n+\varphi) = \cos(-\omega n-\varphi)$ e si riporta la pulsazione a $2\pi-\omega$ cambiando segno alla fase;
3. si riduce la fase modulo $2\pi$ a $(-\pi,\pi]$.

Esempio 7 (tema d'esame febbraio 2024). $x(n) = \cos(199{,}7\pi n)+\cos(54{,}1\pi n+255{,}5\pi)$.

• Primo termine: $199{,}7\pi = 200\pi - 0{,}3\pi$, e $200\pi n$ è multiplo di $2\pi n$. Quindi $\cos(199{,}7\pi n) = \cos(-0{,}3\pi n) = \cos\left(\frac{3\pi}{10}n\right)$.
• Secondo termine: $54{,}1\pi n = 54\pi n + 0{,}1\pi n$ e $54\pi n$ è multiplo di $2\pi n$ (vale $27\cdot2\pi n$). La fase $255{,}5\pi$ si riduce togliendo $254\pi=127\cdot2\pi$: $255{,}5\pi-254\pi = 1{,}5\pi = \frac{3\pi}2\equiv-\frac\pi2$. Quindi $\cos\left(\frac{\pi}{10}n-\frac\pi2\right)$.

Risultato: $x(n) = \cos\left(\frac{3\pi}{10}n\right) + \cos\left(\frac\pi{10}n-\frac\pi2\right)$, con pulsazioni $0{,}3\pi$ e $0{,}1\pi$ entrambe in $[0,\pi]$. Il vantaggio della forma canonica si vede subito con un sistema LTI: per sapere cosa succede al segnale basta valutare la risposta in frequenza in $\omega=0{,}3\pi$ e $0{,}1\pi$ (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →).

Errori comuni

• Dire che la somma di due segnali periodici è sempre periodica: serve il rapporto razionale tra i periodi.
• Prendere come periodo il prodotto dei periodi invece del minimo comune multiplo.
• Nel discreto, dire che $\cos(\omega n)$ è periodico per ogni $\omega$: serve $\omega/2\pi$ razionale.
• Non ridurre le pulsazioni modulo $2\pi$: $\cos(54\pi n)$ è la costante $1$, non una sinusoide veloce.
• Dimenticare che in forma canonica l'ampiezza è non negativa: $-\cos(x)=\cos(x+\pi)$.