Esercizio - Diagnosi COVID con la regola di Bayes (laboratorio 5)

Formalizzazione

Quattro variabili booleane: malattia $D$, febbre $F$, tosse $C$, perdita di gusto/olfatto $L$. Lettera minuscola = valore vero ($d$ significa $D=\text{true}$, $\neg d$ significa $D=\text{false}$). Si cerca $P(d\mid f,c,l)$.

Dati del problema, scritti come distribuzioni: $$\mathbf P(D)=\langle0{,}01;\ 0{,}99\rangle,\quad \mathbf P(F\mid d)=\langle0{,}1;\ 0{,}9\rangle,\ \mathbf P(F\mid\neg d)=\langle0{,}02;\ 0{,}98\rangle,$$ $$\mathbf P(C\mid d)=\langle0{,}2;\ 0{,}8\rangle,\ \mathbf P(C\mid\neg d)=\langle0{,}05;\ 0{,}95\rangle,\quad \mathbf P(L\mid d)=\langle0{,}15;\ 0{,}85\rangle,\ \mathbf P(L\mid\neg d)=\langle0{,}001;\ 0{,}999\rangle.$$

Soluzione

Passo 1: regola di Bayes. Dalla regola di Bayes (Incertezza - probabilità, regola di Bayes e indipendenza condizionataUn agente con osservazioni parziali non può usare regole logiche rigide ("mal di denti implica carie" è falso): usa la probabilità come grado di credenza e, con la teoria dell'utilità, sceglie l'azione con utilità attesa massima. Strumenti: distribuzione congiunta completa (tabella di $2^n$ valori), marginalizzazione $P(Y\mid e)=\alpha\sum_h P(Y,e,h)$ con costante di normalizzazione $\alpha=1/P(e)$, regola del prodotto $P(a,b)=P(a\mid b)P(b)$, regola di Bayes $P(\text{causa}\mid\text{effetto})=\frac{P(\text{effetto}\mid\text{causa})P(\text{causa})}{P(\text{effetto})}$ e indipendenza condizionata $P(a,b\mid c)=P(a\mid c)P(b\mid c)$, che permette di scomporre la congiunta in tabelle più piccole. Un test con sensibilità 73% e falsi positivi 12% su una malattia con prior 1/700 dà una probabilità a posteriori di appena 0,9%.Incertezza - probabilità, regola di Bayes e indipendenza condizionata →): $$P(d\mid f,c,l)=\frac{P(f,c,l\mid d)\,P(d)}{P(f,c,l)}.$$

Passo 2: numeratore. Dato $D$ i tre sintomi sono condizionalmente indipendenti (se so di avere il COVID, la febbre non cambia la probabilità della tosse): la rete è un naive Bayes $D\to F$, $D\to C$, $D\to L$. Quindi $$P(f,c,l\mid d)P(d)=P(f\mid d)P(c\mid d)P(l\mid d)P(d)=0{,}1\cdot0{,}2\cdot0{,}15\cdot0{,}01=3\cdot10^{-5}.$$

Passo 3: denominatore. Legge delle probabilità totali sui due valori di $D$: $$P(f,c,l)=P(f,c,l\mid d)P(d)+P(f,c,l\mid\neg d)P(\neg d)=3\cdot10^{-5}+0{,}02\cdot0{,}05\cdot0{,}001\cdot0{,}99=3\cdot10^{-5}+9{,}9\cdot10^{-7}=3{,}099\cdot10^{-5}.$$

Passo 4: risultato. $$P(d\mid f,c,l)=\frac{3\cdot10^{-5}}{3{,}099\cdot10^{-5}}=0{,}968.$$ Quasi $97\%$, anche se il prior è $1\%$: la perdita di gusto e olfatto ($150$ volte più probabile con il COVID) pesa moltissimo.

Come cresce la credenza. Aggiungendo un sintomo alla volta (stessa formula con meno fattori): nessun sintomo $0{,}01$; solo febbre $0{,}0481$; febbre e tosse $0{,}1681$; tutti e tre $0{,}9681$. I rapporti di verosimiglianza ($P(\text{sintomo}\mid d)/P(\text{sintomo}\mid\neg d)$) sono $5$, $4$ e $150$, con prodotto $3000$; moltiplicato per l'odds a priori $0{,}01/0{,}99$ dà l'odds a posteriori $30{,}3$, cioè probabilità $30{,}3/31{,}3=0{,}968$.

Codice

import numpy as np

p_d = np.array([0.01, 0.99])                     # P(D) = <P(d), P(non d)>
# riga 0: malato, riga 1: non malato; colonna 0: sintomo presente, colonna 1: assente
p_f = np.array([[0.10, 0.90], [0.02, 0.98]])     # P(F | D)
p_c = np.array([[0.20, 0.80], [0.05, 0.95]])     # P(C | D)
p_l = np.array([[0.15, 0.85], [0.001, 0.999]])   # P(L | D)

num = p_f[0, 0] * p_c[0, 0] * p_l[0, 0] * p_d[0]   # P(f|d)P(c|d)P(l|d)P(d)
alt = p_f[1, 0] * p_c[1, 0] * p_l[1, 0] * p_d[1]   # P(f|~d)P(c|~d)P(l|~d)P(~d)
print(num, alt)
print(num / (num + alt))

Output: 3.0000000000000004e-05 9.9e-07 e 0.9680542110358179. Verificato anche per enumerazione sulle $16$ righe della congiunta: $P(f,c,l)=3{,}099\cdot10^{-5}$ e $P(d\mid f,c,l)=0{,}968054$.