Esercizio - Sensore vulcanico, quantizzazione e radio a 4 livelli (simulazione d'esame 2013)

Testo (simulazione d'esame 2013, esercizio 3). Un'isola vulcanica ospita un centro di studio degli eventi geotermici. Sul pendio del vulcano un sensore misura la temperatura a $30$ m di profondità. Il sensore è collegato, tramite un cavo con attenuazione $12{,}5$ dB, a un'unità di controllo esterna. Questa riceve le misure, le quantizza con $13$ bit e le invia con un collegamento radio a un centro di studio a $d=2$ km. Ogni misura di temperatura è una variabile gaussiana i.i.d. con media $360$ K e deviazione standard $12$ K. Il segnale radio trasmesso usa una modulazione passa-banda quaternaria con impulsi sinc di durata $4\ \mu$s e portante $f_0=500$ MHz. Trasmettitore e ricevitore sono adattati e le loro antenne (trasmittente e ricevente) hanno entrambe guadagno $8$ dB. Il ricevitore ha cifra di rumore $7$ dB.

1. Qual è il minimo intervallo di campionamento nell'unità di controllo perché la comunicazione sia fattibile? (La richiesta non è il campionamento di Nyquist, che non riguarda la parte di comunicazione.)
2. Se l'SNR di quantizzazione è $68{,}7$ dB, scrivere l'intervallo in cui i valori sono quantizzati, $[T_m-T_{sat},T_m+T_{sat}]$ (non simmetrico rispetto all'origine, perché è una temperatura assoluta). Quanto vale $P_{sat}$?
3. Se la propagazione radio è in spazio libero, trovare l'attenuazione del canale radio $a_{ch}$.
4. Quale potenza di trasmissione serve per un SNR ricevuto di almeno $30$ dB?

Teoria usata: Campionamento e conversione analogico-digitalePer trasmettere un segnale analogico $a(t)$ con un sistema digitale lo si trasforma in bit: filtro anti-aliasing, campionatore ($T_s=\frac1{F_s}$, $F_s\ge2B$), quantizzatore su $L=2^b$ livelli, mappa livello $\to$ $b$ bit, serializzatore. Il bit-rate nominale è $R_b=bF_s$. Campionare è reversibile (con un filtro interpolatore, in pratica un holder) se $F_s\ge2B$; quantizzare invece perde informazione in modo irreversibile. Al ricevitore si ripercorre la catena al contrario (D/A).Campionamento e conversione analogico-digitale →, Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione →, Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →, Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →, Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →.

1. Intervallo minimo di campionamento

Il collegamento radio ha una velocità fissata dalla modulazione: ogni simbolo quaternario porta $\log_24=2$ bit e dura $T=4\ \mu$s, quindi $$R_b=\frac2{4\ \mu\text{s}}=500\ \text{kbit/s}.$$ Ogni campione, quantizzato a $13$ bit, richiede $13$ bit da trasmettere. Per non accumulare dati senza limite la velocità di produzione dei bit non può superare quella del collegamento: $\dfrac{13}{T_s}\le R_b$, cioè $$T_s\ge\frac{13}{500\cdot10^3}=26\ \mu\text{s}.$$ Intervallo minimo: $26\ \mu$s (campionamento a $38{,}5$ kcampioni/s; il cavo con $12{,}5$ dB di attenuazione non entra nel calcolo della velocità).

2. Intervallo di quantizzazione e $P_{sat}$

Il quantizzatore ha $b=13$ bit e la misura è $x\sim\mathcal N(360,12^2)$, con $\sigma_x=12$ K. Si usa il quantizzatore uniforme centrato sulla media $T_m=360$ K (Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione →): intervallo $[T_m-T_{sat},T_m+T_{sat}]$ con $T_{sat}=v_{sat}$ da determinare con l'SNR: $$[\Lambda_q]_{dB}=6{,}02\,b+4{,}77-20\log_{10}\frac{T_{sat}}{\sigma_x}.$$ Con $b=13$: $6{,}02\cdot13+4{,}77=83{,}03$ dB. Quindi $$20\log_{10}\frac{T_{sat}}{\sigma_x}=83{,}03-68{,}7=14{,}33\ \Rightarrow\ \frac{T_{sat}}{\sigma_x}=10^{14{,}33/20}=5{,}21\ \Rightarrow\ T_{sat}=5{,}21\cdot12=62{,}5\ \text{K}.$$ Intervallo: $[360-62{,}5,\ 360+62{,}5]=[297{,}5\ \text{K},\ 422{,}5\ \text{K}]$. La probabilità di saturazione è quella delle due code gaussiane: $$P_{sat}=2\,Q\Big(\frac{T_{sat}}{\sigma_x}\Big)=2\,Q(5{,}21)=1{,}9\cdot10^{-7}.$$ (Piccolissima: la formula dell'SNR, valida con saturazione trascurabile, è giustificata.)

3. Attenuazione del canale radio

Spazio libero (Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →): $a_{ch}=\dfrac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$ con $\lambda=\dfrac c{f_0}=\dfrac{3\cdot10^8}{5\cdot10^8}=0{,}6$ m ($0{,}5996$ m con $c=299\,792\,458$) e $g_{tx}=g_{rc}=8$ dB. $$\frac{4\pi d}{\lambda}=\frac{4\pi\cdot2000}{0{,}5996}=4{,}19\cdot10^4\ \Rightarrow\ \Big(\frac{4\pi d}\lambda\Big)^2=1{,}757\cdot10^9\ (92{,}4\ \text{dB}).$$ In dB: $a_{ch}=92{,}4-8-8=76{,}4$ dB (equivalente a $a_{ch}=4{,}4\cdot10^7$). Con la formula in dB del libro: $32{,}4+20\log_{10}2+20\log_{10}500-16=32{,}4+6{,}02+53{,}98-16=76{,}4$ dB ✓.

4. Potenza di trasmissione per $\mathrm{SNR}\ge30$ dB

Serve la banda del segnale. Con impulsi sinc di durata (periodo di simbolo) $T=4\ \mu$s, la banda in banda base è $B_h=\frac1{2T}=125$ kHz e, essendo il segnale passa-banda (modulazione in quadratura attorno a $f_0$), $B=2B_h=\frac1T=250$ kHz (Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →). Il link budget in dB (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →): $$\mathrm{SNR}_{dB}=(P_{tx})_{dBm}+114-(a_{ch})_{dB}-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}.$$ Risolvendo per $(P_{tx})_{dBm}$ con $\mathrm{SNR}=30$ dB, $a_{ch}=76{,}4$ dB, $F=7$ dB, $B=0{,}25$ MHz ($10\log_{10}0{,}25=-6{,}02$): $$(P_{tx})_{dBm}=30-114+76{,}4+7-6{,}02=-6{,}6\ \text{dBm}\ \Rightarrow\ P_{tx}=10^{-0{,}66}\ \text{mW}\simeq0{,}22\ \text{mW}.$$ (Controllo in lineare: $P_{tx}=\mathrm{SNR}\cdot a_{ch}\cdot kT_0F\cdot B=10^3\cdot4{,}41\cdot10^7\cdot(1{,}381\cdot10^{-23}\cdot290\cdot5{,}01)\cdot2{,}5\cdot10^5=2{,}2\cdot10^{-4}$ W ✓.) Il cavo da $12{,}5$ dB tra sensore e unità di controllo riguarda un altro tratto della catena e non influisce su questo calcolo.